Рубрика «КУРС чистой МАТЕМАТИКИ»

ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ, ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

204. Количество существенно различных типов функций, с кото­рыми мы встречались в предыдущих главах, невелико; наиболее важ­ными из них являются многочлены, дробно-рациональные функции, алгебраические функции, явные и неявные, и тригонометрические функции, прямые и обратные. Постепенное расширение математического познания сопровожда­лось введением в анализ одного класса функций за другим. Эти новые функции как правило вводились потому, что решение …

ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ, ПОКАЗАТЕЛЬНОЙ И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

227. Функции комплексного переменного. В гл. III мы опре­делили комплексное переменное’) Z = х 4- Iy И рассмотрели ряд простых свойств некоторых классов выражений, содержащих Z, как, например, многочленов P (z). Естественно назы­вать такие выражения Функциями, от Z, и мы действительно уже P (Z) Рациональной функцией". Однако мы еще не дали общего опреде­ления того, что …

СХОДИМОСТЬ БЕСКОНЕЧНЫХ РЯДОВ И НЕСОБСТВЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ

171. В гл. IV мы разъяснили, чтд понимается под Сходящимся, расходящимся и Колеблющимся бесконечным рядом, и проиллюстри­ровали наши определения на нескольких простых примерах, связан­ных, главным образом, с геометрической прогрессией 1 +х + х[69] [70] + … И некоторыми другими аналогичными рядами. В настоящей главе мы подвергнем бесконечные ряды более систематическому рассмотрению и докажем ряд теорем, …

ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ОТ НЕПРЕРЫВНОГО ПЕРЕМЕННОГО. НЕПРЕРЫВНЫЕ И РАЗРЫВНЫЕ ФУНКЦИИ

90. Пределы при Х стремящемся к ∞. Возвратимся теперь к функциям от непрерывного действительного переменного. Мы огра­ничимся исключительно Однозначными функциями *) и будем обозна­чать такие функции через φ (х). Мы предполагаем, что Х принимает последовательно все значения, соответствующие точкам нашей основ­ной прямой линии А, Начиная с некоторой определенной точки на ней и двигаясь все время …

ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ

Ill. Производные или дифференциальные коэффициенты. Вер­немся к рассмотрению сЬойств, которыми мы интуитивно наделяем понятие кривой. Первым и наиболее очевидным свойством является, как мы видели в предыдущей главе, то, в силу которого кривая представляется „связной", и которое легло в основу нашего опреде­ления непрерывной функции. Такие кривые из числа обычно встречающихся в элементарной геометрии как прямые, окружности …

ПРЕДЕЛЫ ФУНКЦИЙ ОТ ПОЛОЖИТЕЛЬНОГО ЦЕЛОЧИСЛЕННОГО ПЕРЕМЕННОГО

50. Функции от положительного целочисленного переменного. В гл. II мы рассмотрели понятие функции от действительного пере­менного Х и привели большое число примеров таких функций. Чита­тель вспомнит, что мы встретились там с одним очень важным обстоятельством: некоторые из этих функций были определены для Всех значений Х, некоторые—-только для Рациональных значений, некоторые — только для Целочисленных значений …

ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЙ

150. Теоремы о среднем высших порядков. В п. 126 мы дока­зали, что если F{X} непрерывна для α≤x≤⅛ и имеет производную в интервале A<^X<^B, то /(⅛)-∕ω==(⅛-α)Z(θ. где A<^ζ<^B, или что F(a-∖-h) —F(a) — bf (α -⅛- θι⅛)> (1) Где 0≤θ1≤ 1. Наложим теперь на F(X) дальнейшие ограничения. Мы предпо­ложим, что F (х) непрерывна для α≤x≤⅛ и …

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ПЕРЕМЕННЫЕ

1. Рациональные числа. Дробь Г ■■ Ные или отрицательные целые числа, называется Рациональным числом. Мы можем предположить, не ограничивая общности наших рассмо­трений, что Р и Q — взаимно простые числа, так как в противном случае дробь можно было бы сократить, а также, что Q положительно, так как P P —Р_Р 9 9 ’ —9 9 …

ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОГО ПЕРЕМЕННОГО

20. Понятие функции. Предположим, что Хну— два непрерывных действительных переменных, которые мы можем представить себе геометрически расстояниями A0P= х, B0Q=Y, измеренными от фи­ксированных точек A0, B0 вдоль двух прямых линий А, М. Пред­ставим себе, что положения точек P и Q не независимы, а связаны некоторым соотношением, которое мы будем мыслить как соотно­шение между Х и …

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

34. Смещения вдоль линии и на плоскости. „Действительное число” Х, с которым мы имели дело в двух предыдущих главах, может рассматриваться со многих точек зрения. Оно может рассматри­ваться просто как число, лишенное какого бы то ни было геоме­трического смысла, или такой геометрический смысл может быть ему приписан по крайней мере тремя различными способами. Оно может …