Рубрика «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ВЗАИМНО ОБРАТНЫЕ ФИГУРЫ

214. Определение. Если выбраны точка О — Полюс инверсии (черт 196 и 196а) и число K— степень инверсии, то точка M‘ прямой OM Называется Обратной (или Преобразованной обратными радиусами — векторами) точке M при условии, что Отрезок ɪ) OM[41] должен быть отложен в направлении OM (черт. 196) или в противоположном направлении (черт. 196а), в зависимости …

ПОЛЮСЫ И ПОЛЯРЫ ОТНОСИТЕЛЬНО ОКРУЖНОСТИ

204. Теорема. Если через точку а, взятую в плоскости круга, провести произвольную секущую, пересекающую окружность в точках MuN, То геометрическое место точек Р, гармонически сопряжённых с точкой а от­ Носительно точек MuN, Есть прямая линия (черт. 191). Действительно, середина I Отрезка АР удовлетворяет (п. 189) равенству Ia2 = IM—IN. Эта точка I принадлежит, таким образом, …

О ПОНЯТИИ ПЛОЩАДИ

313. В книге четвёртой настоящего сочинения мы следовали обще­принятому пути, при котором a priori допускается (п. 243), что можно определять площади многоугольников, т. е. что каждому плоскому многоугольнику можно поставить в соответствие некоторое число (называемое площадью), обладающее следующими свойствами: 1. Два равных многоугольника имеют одну и ту же площадь, как бы эти многоугольники ни были …

РЕШЕНИЯ УПРАЖНЕНИЙ И ЗАДАЧ

КНИГА ПЕРВАЯ. ПРЯМАЯ Линия. УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I (стр. 35). 1. Если точка C лежит между M и В (черт. 250я), то из ра­венства AM=MB следует, что AC — MC= MCЦ — СВ, откуда MC— = — (АС—СВ), и аналогично, если точка C лежит между А и М. Если точка C лежит на продолжении отрезка …

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ C ОКРУЖНОСТЬЮ

57. Теорема. Через три точки, не лежащие на одной прямой, можно провести окружность и притом только одну. Иначе говоря, Окружность определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. Пусть, в самом деле, А, В, C (черт. 58) три точки, не лежа­щие на одной прямой линии. Мы уже доказали (п. 52), что перпен­дикуляры, восставленные в серединах …

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ 2018

Если бы окружности А и В не пересекались, а касались одна дру­гой, то мы могли бы повторить предыдущие рассуждения. При этом две пары пересекающихся прямых (а, Ь) и (с, D) заменились бы двумя парами параллельных прямых. Выбрав произвольно степень инверсии 6′, преобразующей окружности А и В в прямые А и Ь, мы можем подо­брать степень …

ЗНАКИ ОТРЕЗКОВ

185. До сих пор *<ы измеряли прямолинейные отрезки существен" но положительными числами. Однако если приходится сравнивать от­резки, лежащие на одной и той же прямой, то оказывается предпоч­тительным поставить^ соответствие этим отрезкам как положительные, так и отрицательные числа, пользуясь некоторым соглашением, кото­рое мы сейчас установим. Выберем на рассматриваемой прямой X‘X (черт. 182) раз навсег­да определённое направление, …

СМЕШАННЫЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ, ПРЕДЛАГАВШИЕСЯ НА КОНКУРСНЫХ ЭКЗАМЕНАХ

S43. Пусть А, В, C, D — четыре точки, лежащие иа одной окружности (следующие друг за другом в том порядке, как они перечислены,; возьмём середины «, ⅛, С, D дуг АВ, ВС, CD, DA. Показать, что прямые Ас и Bd Перпендикулярны. 344. На сторонах ВС, CA, AB треугольника взяты три произвольные точки D, Е, P …

СЛОЖНОЕ ОТНОШЕНИЕ. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ЧЕТВЁРКИ ПРЯМЫХ

199. Определение. Пусть А, В, C, D — четыре точки, лежащие на одной прямой. Сложным (или ангармоническим) Отношением этих четырёх точек, которое обозначается символом (ABCD), называется частное от деления отношения расстояний точки C до точек А и В На отношение расстояний точки D до тех же точек, а именно: Мится к 1. Следовательно, сложное отношение …

ЗАДАЧА МАЛЬФАТТИ

320. Пользуясь основными свойствами окружностей, касательных к двум данным окружностям или к ним Изогональных (т. е. пересекаю­щих их под равными углами), изложенными как в дополнениях к третьей книге (пп. 227—236), так и в Прибавлении С, мы имеем возможность решить известную задачу Мальфатти, которая формулируется следую­щим образом. Пусть даны три прямые (fl1), (й2), (й3), Лежащие на …