Рубрика «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ»

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ДВУХ ОКРУЖНОСТЕЙ

68. Две окружности не могут иметь более двух общих точек По теореме п. 57. Теорема. Если две окружности пересекаются, то прямая, соединяющая их центры, перпендикулярна к общей хорде и делит её на две равные части. Если они имеют только одну общую точку, то эта точка лежит на линии центров, и обратно. В самом деле, линия …

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ

105. Известно, что Пропорцией называется равенство двух отно­шений и что две величины называются Пропорциональными, если их значения соответствуют друг другу таким образом, что отношение двух каких-либо значений первой равно отношению соответствую­щих значений второй. Так, два отрезка АВ, CD называются пропор­циональными отрезкам A‘B‘, CD‘, если имеет место равенство АВ_А’В’ CD~^C’D’^ AB 106. В предыдущем равенстве ɑj …

ПЛОЩАДЬ КРУГА

259. Площадью круга называется предел, к которому стремится площадь вписанного или описанного многоугольника, если длины всех его сторон стремятся к нулю. Чтобы доказать, что такой предел существует и не зависит от за­кона, по которому длины сторон стремятся к нулю, надо провести рассуждения, аналогичные тем, которые мы проводили, определяя длину окружности. Сначала рассматривают правильные вписанные многоугольники, …

ПРОПОРЦИОНАЛЬНЫЕ ОТРЕЗКИ В КРУГЕ. РАДИКАЛЬНАЯ ОСЬ

131. Теорема. Если через точку А, взятую в плоскости дан­ной окружности, провести к этой окружности секущие, то произ­ведение расстояний от точки А до двух точек пересечения каждой секущей с окружностью есть величина постоянная. Будем различать два случая: 1°. Точка А лежит внутри окружности (черт. 137). Пусть через эту точку проведены секущие BAB‘ и CAC. Соединим …

ПЕРПЕНДИКУЛЯРЫ И НАКЛОННЫЕ

29 Теорема. Если из одной точки, взятой вне прямой, про­вести к этой прямой перпендикуляр и несколько наклонных, то: 1) Перпендикуляр короче всякой наклонной? 2) Две наклонные, основания которых одинаково удалены ст основания перпендикуляра, равны; 3) Из двух наклонны х длиннее та, сснование которой дальше отстоит от основания перпендикуляра. 1°. Пусть даны перпендикуляр ОН И наклонная …

ПРЯМЫЕ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ, ПРОХОДЯЩИЕ ЧЕРЕЗ ОДНУ ТОЧКУ

52. Теорема. Во всяком треугольнике перпендикуляры, вос­ставленные в серединах сторон, пересекаются в одной тдчке. Пусть дан треугольник ABC (черт. 53). Прямые, перпендикулярные к сторонам AB и AC треугольника и проходящие через их середины, не могут быть параллельными (иначе AB и AC лежали бы на одной прямой) и пересекаются в некоторой точ­ке О. Требуется доказать, что …

ЗАДАЧИ О КАСАНИИ ОКРУЖНОСТЕЙ

229. Задача. Построить окружность, проходящую через две данные точки и касающуюся данной прямой или данной окруж­ности. Мы уже решили эту задачу (п. 159). Однако инверсия позволяет дать другое решение. Действительно, если мы преобразуем фигуру 14 Элементарная геометрия С помощью обратных радиусов-векторов, приняв за полюс одну из данных точек, то искомая окружность преобразуется в прямую, которая …

Решение задач ПЛОЩАДИ

УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ I (стр. 232). 287. Так как высота равностороннего треугольника со стороной А Равна ~ Aj∕R3 (сравнить п. 167), то его площадь равна ɪ-ɑ • 4- АУ 3 = Z 2 2 288. В силу упражнения откуда а =1,52 М. 289. Пусть ABCD — данный квадрат (черт. 513); £, F, G и H …

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ. СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА

Равные катеты (второй признак равенства произвольных треугольников). Кроме разобранных ранее признаков равенства треугольников, су­ществуют два других, которые приложимы только к прямоугольным треугольникам. Первый признак равенства. Два прямо­угольных треугольника равны, если они имеют равные гипотенузы и по одному равному острому углу. Пусть (черт. 36) даны два прямоуголь­ных треугольника ABC и А’Ь’С, в которых BC= В’С’, ,/В=’/В’. …

ИЗМЕРЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ

242. Два многоугольника называются смежными, если они име­ют одну или несколько об’.цчх сторон (черт. 212) Или частей сто­рон (черт. 213), Но не имеюп ни одной общей внутренней точки. Если в двух данных смежных многоугольниках P, P‘ не рассмат­ривать их общих сторон, то образуется1) третий многоугольник Р", Который называется Суммой первых двух. Внутренняя область этого многоугольника …