Определение 8. Алгебраической кривой второго порядка называется кривая L, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид
Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = Q, Где не все коэффициенты А, В, C равны одновременно нулю (в противном случае L — прямая, т. е. алгебраическая кривая первого порядка).
Если В = 0, то уравнение примет вид
Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = Q.
К такому виду можно привести исходное уравнение с помощью формул Поворота осей координат на угол А
Х ≈ x’cos а — ρ’sin а, у = x’sin а + yrcos а,
Где А Определяется равенством
Ctg 2α = a2^ (B ≠ 0).
Справедливо утверждение.
Если AC — B2 > Q, то имеет место кривая эллиптического вида (эллипс, либо окружность, либо точка, либо мнимая кривая); если AC — B2 < 0, то уравнение определяет кривую гиперболического типа (гипербола, сопря
женная ей гипербола, либо пара пересекающихся действительных прямых);
Если AC — B2 ≈ 0, то L является кривой параболического типа (парабола, либо пара действительных параллельных прямых, либо две совпадающие параллельные прямые, либо мнимая кривая).
Случаи, когда уравнение определяет пустое множество (мнимая кривая), точку, прямую, пару прямых называют случаями вырождения кривой, а перечисленные множества — вырожденными кривыми.
Если же кривая L — невырожденная, то для нее найдется такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой имеет один из трех видов (каноническое уравнение):
1, A ≥ Ъ > 0 — окружность, эллипс,
X У
—у —% “ 1, α > O, B > 0 — гипербола, А B
Y2 = 2рх, р > 0 — парабола.
Пример 32. Упростить уравнение X2 + ху + у2 — Зх — Qy + + 3 = 0 и установить вид кривой.
Решение.
Повернем оси координат на угол А, Найдя ctg 2α по A—C
Формуле ctg 2α = -• . В данном случае А = 1, C = 1 и
2В
N 1 „ n I-Irtrtrtrt^
В = —. Следовательно, ctg2α = —— = 0 и 2a = 90 . Отсю-
2 ɪ
√2 J_
Да А = 45°. Так как sin 45° = cos 45° = — = , то фор
Подставляя эти выражения Х и У в данное уравнение, получим
Z Г rλ X -у |
И |
( > Л X -у |
(х’ + И |
, (χ, + y, y |
Л J |
+ |
Я J |
√2 |
I J |
Произведя упрощения, будем иметь
3 X2 + y,2 -9√2x’-3√2∕ + 6 = 0.
Как и следовало ожидать, полученное уравнение не
Содержит члена с произведением переменных. Выделяя полные квадраты, придем к уравнению
Липс с полуосями 2 и 2 7з. Чтобы найти координаты центра этого эллипса в системе координат ХОу, подставим С ~ ^ \
3 Jt
= 0, y = A-^- = 3. √2
Ответ: эллипс с центром О'(0; 3).
Пример 33. Упростить уравнение кривой
4×2 + 9y2 + 32х — 54у + 109 = 0 и установить ее вид.
Решение.
Перепишем уравнение так:
4(x2 + 8х) + 9(г/2 — Бу) = — 109.
Дополняя выражения в скобках до полных квадратов, получим
4(x2 + 8x + 16) + 9(Y2 — 6х + 9) = 64 + 81 — 109
, „ (х + 4)2 , (г/-3)2 ,
Или, после преобразовании—————— + -ɪ——— == 1.
Получим уравнение эллипса с центром O'(-4; 3) и полуосями А == 3 и Ъ = 2.
Ответ: эллипс с центром O'(-4; 3).
Пример 34. Упростить уравнение кривой
4xz — 25Y2 — 24х + 50г/ — 89 = 0 и установить ее вид. Решение.
Перепишем уравнение так:
4(x2 — 6x) — 25(z∕z — 2у) = 89
И каждую из скобок дополним до полного квадрата: 4(x2 — 6x + 9) — 25(p2 — 2Y + 1) = 89 + 36 — 25.
Это уравнение гиперболы с центром в точке (3; 1). Ответ: гипербола с центром в O'(3; 1).
Замечание. Так как в данном уравнении А = 4, В = 0,
C = -25, ToAC—B2 = 4- (-25) = -100 < 0.
Следовательно, сразу можно было указать, что это кри
Вая гиперболического типа.
Пример 35. Упростить уравнение кривой 4г/2 + 8z∕-2x-1=0h установить ее вид.
Решение.
Разрешим уравнение относительно Х
Х = 2у2 + 4г/ — — и преобразуем его к виду: х +j=2(0 + l)2.
Это уравнение параболы, вершина которой находится ( 5 ɔ
. Ось симметрии параболы параллельна оси Ох; ветви параболы направлены вправо.
Ответ: парабола X + ^½ = %(У + ɪ) — £
Задания для самостоятельного решения
1. Составить уравнение окружности в каждом из следующих случаев:
А) центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус R = 3;
Б) центр окружности совпадает с точкой С(2; -3) и ее радиус R= 7;
В) окружность проходит через начало координат И Ее центр совпадает с точкой С(6; -8);
Г) окружность проходит через точку А(2; 6) и ее центр совпадает с точкой C(- 1; 2);
Д) центр окружности совпадает с началом координат и прямая Зх — 4у + 20 = 0 является касательной к окружности;
Е) точки А(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров окружности;
Ж) центр окружности совпадает с точкой C(l; -1) и прямая 5х — 12у + 9 = 0 является касательной к окружности;
З) окружность проходит через точки A(3; 1) иВ(-1; 3), а ее центр лежит на прямой Зх — у — 2 = 0;
И) окружность проходит через три точки: A(L; 1), В(1;-1)иС(2; 0);
К) окружность проходит через три точки: M1(-L; 5), M2(-2; -2)∏M3(5; 5).
2. Установить, как расположена точка А(1; -2) относительно каждой из следующих окружностей — внутри, вне или на контуре:
A) X2 + у2 = 5; б) Х2 + у2 = 9; в) х2 + у2 — 8х — 4у — 5 = 0;
Г) X2 + y2- IOx + 8у = 0.
3. Какие из нижеприведенных уравнений определяют окружности? Найти центр C и радиус R каждой из них:
А) X2 + у2 — 2х + 4у — 20 = 0;
Б) X2 + у2 — 2х + 4у + 14 = 0;
В) X2 + у2 + 4х — 2у + 5 = 0;
Г) X2 + у2 + х — 0;
Д) X2 + Y2 + Qx — 4у + 14 = 0;
Е) X2 + у2 + у = 0.
4. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
А) У = — л/25 — X2 ; б) Х = — ^4 — у2 ;
В) Х = + τ∣16-Yz ; г) У = 15 + Vβ4-x2 ;
Д) У = 15 — -⅛4-x2 ; е) У = -2 — ι∣9-Yz ;
Ж) У ≈ -2 + л/э-х2 •
5. Окружности заданы уравнениями в декартовых прямоугольных координатах:
A) X2 + у2 = — Зх; б) х2 + У2 = 5г/; в) Х2 + у2 = — у,
Г) X2 + у2 = х + у.
Составить уравнения этих окружностей в полярных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Oxt а полюс — с началом координат.
6. Построить эллипс X2 + 4Y2 = 16, найти его фокусы и эксцентриситет.
7. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что:
А) расстояние между фокусами равно 8, а малая полуось 6 = 3;
Б) большая полуось А = 6, а эксцентриситет Е = 0,5.
8. Эллипс, симметричный относительно осей координат, проходит через точки М(2; Уз ) и В(0; 2). Написать его уравнение и найти расстояния точки M от фокусов.
9. Написать уравнение касательной к эллипсу 2 2
+ — = Ib точке (-3; 3).
36 12
10. Найти касательные к эллипсу
Дящие через точку (-3; 1).
11. Определить, какие из точек A1(-2; 3), A2(2; -2), A3(2; -4), A4(-l; 3), A5(-4; -3), A6(3; -1), A7(3; -2) лежат на эллипсе 8×2 + 5y2 =77, какие внутри и какие вне его.
12. Найти точки пересечения прямой х + 2р-7 = 0и эллипса X2 + 4p2 = 25.
13. Составить уравнение эллипса, зная что:
А) его большая ось равна 26, а фокусы — F1(-10; 0), F2(14; 0);
Б) его малая ось равна 2 и фокусы — FΛ—1; -1), F2(l; 1);
В) его фокусы — F1(-2; 3/2), F2(2; -3/2) и эксцентриси
14. Найти область определения функции
Z = ^2-x2-2у2 .
15. Определить полуоси а и Ь каждой из следующи х гипербол:
Сами 2c = 10 и эксцентриситет Е =
В) уравнения асимптот У = Вершинами равно 48.
17» Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:
А) ее оси 2A ≈ 10 и 2Ь = 8;
Б) расстояние между фокусами 2c = 10 и ось 2Ь = 8;
В) расстояние между фокусами 2c = 10 и эксцентриси-
3
Тет с = — ;
Г) ось 2A = 16 и эксцентриситет Е
4
Д) уравнения асимптот У = ÷ — х и расстояние между
О
Фокусами 2с = 20.
18. Дана гипербола 16×2 — 9Y2 = -144. Найти:
А) полуоси А и Ь; б) фокусы; в) эксцентриситет; г) уравнения асимптот.
19. Вычислить площадь треугольника, образованного
X2 у2
——- — = 1 и прямой 9х + 2у —
4 9
20. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:
А) точки M1(6; -1) и M2(-8; 2 √2 ) гиперболы;
Б) точка M1(-5; 3) гиперболы и эксцентриситет E= Y∣2
Х.
21. Определить эксцентриситет равносторонней гиперболы.
22. Построить следующие параболы и найти их параметры:
А) У2 = бх; б) X2 = 5г/; в) У2 = -4х; г) х2 = -у.
23. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что: а) парабола расположена симметрично относительно оси Ox и проходит через точку В(-1; 3); б) парабола расположена симметрично относительно оси Oy и проходит через точку D(4; -8).
24. Составить уравнение параболы, если дан фокус F(-7; 0) и уравнение директрисы Х — 7 = 0.
25. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты вершины А, величину параметра Р и уравнение директрисы:
А) У2 = 4х — 8; б) У2 = 4 — 6х; в) х2 = Бу + 2; г) х2 = 2 — у.
26. Установить, какие линии определяются следующими уравнениями:
А) У = -3 √- 2х ; б) У = -2 Tx ; в) х = +
Г) х = -5 Т~Т.
27. Написать уравнение касательной к параболе X2 = 16г/, перпендикулярной к прямой 2х + 4у + 7 = 0.
28. Из точки А(5; 9) проведены касательные к параболе У2 = 5х. Составить уравнение хорды, соединяющей точки касания.
Х У
29. Найти точки пересечения гиперболы — —— = -1
И параболы У2 = Зх.
30. Построить параболы:
А) У = 2×2 — 4х + 8; б) x2 + 6х + У + 7 = 0;
В) Y2 + Sy — 2х + 22 = 0; г) 2y2 + 4у + х + 6 = 0.
31. Построить кривые:
A) X2 + 4x + 4y2 = 0; б) 2×2 — 8x + Y2 — Qy + 1 = 0;
В) X2 — 8x — 4y2 = 0; г) Y2 — бу — X2 + 2х = 0.
32. Составить простейшие уравнения, а также построить кривые, определяемые уравнениями:
А) 2ху — 4х — 2у + 3 = 0;
Б) 5×2 + 12ху — 22х — 12г/ — 19 = 0;
В) X2 + 2ху + у2 + Зх + У = 0;
Г) 5×2 + Qxy + 5Y2 — IQx — IGy — 16 = 0;
Д) 5×2 + Qxy + Qy2 — 18х — 18у + 9 = 0;
Е) 4×2 — 12xι∕ + 9г/2 — 36х + 100 = 0.
Ответы:
1. A) X2 + У2= 9; б) (х — 2)2 + (у + З)2 = 49; в) (х — 6)2 + + (у + 8)2 = 100; г) (х + I)2 + (у — 2)2 = 25; д) х2 + У2= 16;
Е) (χ — I)2 + (у- 4)2 = 8; ж) (х — I)2 + (у + I)2 = 4; з) (х — 2)2 + + (у- 4)2 = 10; и) (х — I)2 + Y2 = 1; к) (х — I)2 + (у + I)2 = 25.
2. А) на окружности; б) внутри окружности; в) на окружности; г) внутри окружности.
4. а) полуокружность радиуса R = 5 с центром в начале координат, расположенная в нижней полуплоскости;
Б) полуокружность радиуса R = 2 с центром в начале координат, расположенная в левой полуплоскости;
В) полуокружность радиуса R = 4 с центром в начале координат, расположенная в правой полуплоскости;
Г) полуокружность радиуса R = 8 с центром С(0; 15), расположенная над прямой У — 15 = 0;
Д) полуокружность радиуса R = 8 с центром С(0; 15), расположенная под прямой У — 15 = 0;
Е) полуокружность радиуса JR = 3 с центром С(-2; 0), расположенная влево от прямой х + 2 = 0;
Ж) полуокружность радиуса JR = 3 с центром С(-2; 0), расположенная вправо от прямой х + 2 = 0.
5. а) р = -3 cos φ; б) р = 5 sin φ; г) р = cos φ + sin φ .
13. а) —2+ ɪ- = 1; б) 2×2 — 2xy + 2y2 — 3 = 0;
169 25 . v
В) 68×2 + 48xι∕ + 82y2 — 625 = 0.
2 2 X Il
14. — + ɪ- ≤ 1 — эллипс и его внутренняя область.
15. а) А = 3, Ь = 2; б) А = 4, B = 1; в) А = 4, Ъ = 2;
Г) ɑ = 1, ð = 1; д) а = —, & = 1 1
Ж) α = — , д = -;
X2 И2 X2
16∙a>3<Γ⅛Γ-1=6>l6
18. А = 3, Ъ = 4; б) F1(0; 5), F2(0; -5); в) Е = -; у = ± — х.
19. 12 кв. ед.
X2 и2 X2 и2
20. а) -— ^- = 1; б) х2 — у2 = 16; в) — — ;
32 8 18 8
Г — 5 1
21. У = √2.22. а) Р = 3; б) Р = —; в) Р = 2; г) Р = — ;
23. а) у2 = -9х; б) x2 = — 2у; 24. y2 = -28х;
25. a)A(2; 0), Р = 2, х — 1 = 0; б) A ɔθ
— 13 = 0; b)A∣°; — ɜj, p = 3, бу + 11 = 0; r)A(0; 2),p= ɪ, 4у-9;
26. а) часть параболы y2 = -18х, расположенная в третьем координатном углу;
Б) часть параболы у2 = 4х, расположенная в четвертом координатном углу;
В) часть параболы x2 = 5у, расположенная в первом координатном углу;
Г) часть параболы х2 = — 25у, расположенная в третьем координатном углу;
27. 2х — У — 16 = 0; 28. 5х — 18у + 25 = 0;
29. (Ю; Тзо), (io; -√30), (2; Ve )> (2; — Ve )•
30. а) (х — D2 = I {у — 6); б) (х + З)2 = — (у — 2);
В) (у + 4)2 = 2(х + 2); г) (у + I)2 = —(х + 4);
31. а)——— + у2 =1; эллипс с центром С(-2; 0) и по-
4
Луосями 2 и 1;
-4 (х-2)2 (у-3)2 . ,o
Б) ——- —+ —— ^- = 1; эллипс с центром (2; 3) и полу-
8 16
Осями 2√i и 4;
(X-4)^ тельная полуось равна 4, мнимая 2;
Г) (у — З)2 — (х — I)2 = 8; равносторонняя гипербола с
Центром (1; 3), полуоси равны 2 V2 , действительная ось параллельна оси ординат;
32. a) X[8] — Y2 = 1; б) |
X2 У2 |
1; в) У2 |