Алгебраические кривые второго порядка

Определение 8. Алгебраической кривой второго поряд­ка называется кривая L, уравнение которой в декартовой системе координат имеет вид

Ax2 + 2Bxy + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = Q, Где не все коэффициенты А, В, C равны одновременно нулю (в противном случае L — прямая, т. е. алгебраичес­кая кривая первого порядка).

Если В = 0, то уравнение примет вид

Ax2 + Cy2 + 2Dx + 2Ey + F = Q.

К такому виду можно привести исходное уравнение с помощью формул Поворота осей координат на угол А

Х ≈ x’cos а — ρ’sin а, у = x’sin а + yrcos а,

Где А Определяется равенством

Ctg 2α = a2^ (B ≠ 0).

Справедливо утверждение.

Если AC — B2 > Q, то имеет место кривая эллиптичес­кого вида (эллипс, либо окружность, либо точка, либо мнимая кривая); если AC — B2 < 0, то уравнение опреде­ляет кривую гиперболического типа (гипербола, сопря­
женная ей гипербола, либо пара пересекающихся дей­ствительных прямых);

Если AC — B2 ≈ 0, то L является кривой параболичес­кого типа (парабола, либо пара действительных парал­лельных прямых, либо две совпадающие параллельные прямые, либо мнимая кривая).

Случаи, когда уравнение определяет пустое множество (мнимая кривая), точку, прямую, пару прямых называют случаями вырождения кривой, а перечисленные множе­ства — вырожденными кривыми.

Если же кривая L — невырожденная, то для нее найдет­ся такая декартова прямоугольная система координат, в которой уравнение этой кривой имеет один из трех видов (каноническое уравнение):

1, A ≥ Ъ > 0 — окружность, эллипс,

X У

—у —% “ 1, α > O, B > 0 — гипербола, А B

Y2 = 2рх, р > 0 — парабола.

Пример 32. Упростить уравнение X2 + ху + у2 — Зх — Qy + + 3 = 0 и установить вид кривой.

Решение.

Повернем оси координат на угол А, Найдя ctg 2α по A—C

Формуле ctg 2α = -• . В данном случае А = 1, C = 1 и

2В

N 1 „ n I-Irtrtrtrt^

В = —. Следовательно, ctg2α = —— = 0 и 2a = 90 . Отсю-

2 ɪ

√2 J_

Да А = 45°. Так как sin 45° = cos 45° = — = , то фор­

Подставляя эти выражения Х и У в данное уравнение, получим

Z Г rλ X -у	И	( > Л X -у	(х’ + И	, (χ, + y, y
Л J	+	Я J	√2	I J

Произведя упрощения, будем иметь

3 X2 + y,2 -9√2x’-3√2∕ + 6 = 0.

Как и следовало ожидать, полученное уравнение не

Содержит члена с произведением переменных. Выделяя полные квадраты, придем к уравнению

Липс с полуосями 2 и 2 7з. Чтобы найти координаты цен­тра этого эллипса в системе координат ХОу, подставим С ~ ^ \

3 Jt

= 0, y = A-^- = 3. √2

Ответ: эллипс с центром О'(0; 3).

Пример 33. Упростить уравнение кривой

4×2 + 9y2 + 32х — 54у + 109 = 0 и установить ее вид.

Решение.

Перепишем уравнение так:

4(x2 + 8х) + 9(г/2 — Бу) = — 109.

Дополняя выражения в скобках до полных квадратов, получим

4(x2 + 8x + 16) + 9(Y2 — 6х + 9) = 64 + 81 — 109

, „ (х + 4)2 , (г/-3)2 ,

Или, после преобразовании—————— + -ɪ——— == 1.

Получим уравнение эллипса с центром O'(-4; 3) и по­луосями А == 3 и Ъ = 2.

Ответ: эллипс с центром O'(-4; 3).

Пример 34. Упростить уравнение кривой

4xz — 25Y2 — 24х + 50г/ — 89 = 0 и установить ее вид. Решение.

Перепишем уравнение так:

4(x2 — 6x) — 25(z∕z — 2у) = 89

И каждую из скобок дополним до полного квадрата: 4(x2 — 6x + 9) — 25(p2 — 2Y + 1) = 89 + 36 — 25.

Это уравнение гиперболы с центром в точке (3; 1). Ответ: гипербола с центром в O'(3; 1).

Замечание. Так как в данном уравнении А = 4, В = 0,

C = -25, ToAC—B2 = 4- (-25) = -100 < 0.

Следовательно, сразу можно было указать, что это кри­

Вая гиперболического типа.

Пример 35. Упростить уравнение кривой 4г/2 + 8z∕-2x-1=0h установить ее вид.

Решение.

Разрешим уравнение относительно Х

Х = 2у2 + 4г/ — — и преобразуем его к виду: х +j=2(0 + l)2.

Это уравнение параболы, вершина которой находится ( 5 ɔ

. Ось симметрии параболы параллельна оси Ох; ветви параболы направлены вправо.

Ответ: парабола X + ^½ = %(У + ɪ) — £

Задания для самостоятельного решения

1. Составить уравнение окружности в каждом из сле­дующих случаев:

А) центр окружности совпадает с началом координат и ее радиус R = 3;

Б) центр окружности совпадает с точкой С(2; -3) и ее радиус R= 7;

В) окружность проходит через начало координат И Ее центр совпадает с точкой С(6; -8);

Г) окружность проходит через точку А(2; 6) и ее центр совпадает с точкой C(- 1; 2);

Д) центр окружности совпадает с началом координат и прямая Зх — 4у + 20 = 0 является касательной к окруж­ности;

Е) точки А(3; 2) и В(-1; 6) являются концами одного из диаметров окружности;

Ж) центр окружности совпадает с точкой C(l; -1) и прямая 5х — 12у + 9 = 0 является касательной к окруж­ности;

З) окружность проходит через точки A(3; 1) иВ(-1; 3), а ее центр лежит на прямой Зх — у — 2 = 0;

И) окружность проходит через три точки: A(L; 1), В(1;-1)иС(2; 0);

К) окружность проходит через три точки: M1(-L; 5), M2(-2; -2)∏M3(5; 5).

2. Установить, как расположена точка А(1; -2) относи­тельно каждой из следующих окружностей — внутри, вне или на контуре:

A) X2 + у2 = 5; б) Х2 + у2 = 9; в) х2 + у2 — 8х — 4у — 5 = 0;

Г) X2 + y2- IOx + 8у = 0.

3. Какие из нижеприведенных уравнений определяют окружности? Найти центр C и радиус R каждой из них:

А) X2 + у2 — 2х + 4у — 20 = 0;

Б) X2 + у2 — 2х + 4у + 14 = 0;

В) X2 + у2 + 4х — 2у + 5 = 0;

Г) X2 + у2 + х — 0;

Д) X2 + Y2 + Qx — 4у + 14 = 0;

Е) X2 + у2 + у = 0.

4. Установить, какие линии определяются следующи­ми уравнениями:

А) У = — л/25 — X2 ; б) Х = — ^4 — у2 ;

В) Х = + τ∣16-Yz ; г) У = 15 + Vβ4-x2 ;

Д) У = 15 — -⅛4-x2 ; е) У = -2 — ι∣9-Yz ;

Ж) У ≈ -2 + л/э-х2 •

5. Окружности заданы уравнениями в декартовых прямоугольных координатах:

A) X2 + у2 = — Зх; б) х2 + У2 = 5г/; в) Х2 + у2 = — у,

Г) X2 + у2 = х + у.

Составить уравнения этих окружностей в полярных координатах при условии, что полярная ось совпадает с положительной полуосью Oxt а полюс — с началом коор­динат.

6. Построить эллипс X2 + 4Y2 = 16, найти его фокусы и эксцентриситет.

7. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что:

А) расстояние между фокусами равно 8, а малая полу­ось 6 = 3;

Б) большая полуось А = 6, а эксцентриситет Е = 0,5.

8. Эллипс, симметричный относительно осей коорди­нат, проходит через точки М(2; Уз ) и В(0; 2). Написать его уравнение и найти расстояния точки M от фокусов.

9. Написать уравнение касательной к эллипсу 2 2

+ — = Ib точке (-3; 3).

36 12

10. Найти касательные к эллипсу

Дящие через точку (-3; 1).

11. Определить, какие из точек A1(-2; 3), A2(2; -2), A3(2; -4), A4(-l; 3), A5(-4; -3), A6(3; -1), A7(3; -2) лежат на эллипсе 8×2 + 5y2 =77, какие внутри и какие вне его.

12. Найти точки пересечения прямой х + 2р-7 = 0и эллипса X2 + 4p2 = 25.

13. Составить уравнение эллипса, зная что:

А) его большая ось равна 26, а фокусы — F1(-10; 0), F2(14; 0);

Б) его малая ось равна 2 и фокусы — FΛ—1; -1), F2(l; 1);

В) его фокусы — F1(-2; 3/2), F2(2; -3/2) и эксцентриси­

14. Найти область определения функции

Z = ^2-x2-2у2 .

15. Определить полуоси а и Ь каждой из следующи х гипербол:

Сами 2c = 10 и эксцентриситет Е =

В) уравнения асимптот У = Вершинами равно 48.

17» Составить уравнение гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, симметрично относительно начала координат, зная, кроме того, что:

А) ее оси 2A ≈ 10 и 2Ь = 8;

Б) расстояние между фокусами 2c = 10 и ось 2Ь = 8;

В) расстояние между фокусами 2c = 10 и эксцентриси-

3

Тет с = — ;

Г) ось 2A = 16 и эксцентриситет Е

4

Д) уравнения асимптот У = ÷ — х и расстояние между

О

Фокусами 2с = 20.

18. Дана гипербола 16×2 — 9Y2 = -144. Найти:

А) полуоси А и Ь; б) фокусы; в) эксцентриситет; г) урав­нения асимптот.

19. Вычислить площадь треугольника, образованного

X2 у2

——- — = 1 и прямой 9х + 2у —

4 9

20. Составить уравнение гиперболы, фокусы которой лежат на оси абсцисс симметрично относительно начала координат, если даны:

А) точки M1(6; -1) и M2(-8; 2 √2 ) гиперболы;

Б) точка M1(-5; 3) гиперболы и эксцентриситет E= Y∣2

Х.

21. Определить эксцентриситет равносторонней гипер­болы.

22. Построить следующие параболы и найти их пара­метры:

А) У2 = бх; б) X2 = 5г/; в) У2 = -4х; г) х2 = -у.

23. Составить уравнение параболы, вершина которой находится в начале координат, зная, что: а) парабола рас­положена симметрично относительно оси Ox и проходит через точку В(-1; 3); б) парабола расположена симметрич­но относительно оси Oy и проходит через точку D(4; -8).

24. Составить уравнение параболы, если дан фокус F(-7; 0) и уравнение директрисы Х — 7 = 0.

25. Установить, что каждое из следующих уравнений определяет параболу, и найти координаты вершины А, величину параметра Р и уравнение директрисы:

А) У2 = 4х — 8; б) У2 = 4 — 6х; в) х2 = Бу + 2; г) х2 = 2 — у.

26. Установить, какие линии определяются следующи­ми уравнениями:

А) У = -3 √- 2х ; б) У = -2 Tx ; в) х = +

Г) х = -5 Т~Т.

27. Написать уравнение касательной к параболе X2 = 16г/, перпендикулярной к прямой 2х + 4у + 7 = 0.

28. Из точки А(5; 9) проведены касательные к парабо­ле У2 = 5х. Составить уравнение хорды, соединяющей точ­ки касания.

Х У

29. Найти точки пересечения гиперболы — —— = -1

И параболы У2 = Зх.

30. Построить параболы:

А) У = 2×2 — 4х + 8; б) x2 + 6х + У + 7 = 0;

В) Y2 + Sy — 2х + 22 = 0; г) 2y2 + 4у + х + 6 = 0.

31. Построить кривые:

A) X2 + 4x + 4y2 = 0; б) 2×2 — 8x + Y2 — Qy + 1 = 0;

В) X2 — 8x — 4y2 = 0; г) Y2 — бу — X2 + 2х = 0.

32. Составить простейшие уравнения, а также постро­ить кривые, определяемые уравнениями:

А) 2ху — 4х — 2у + 3 = 0;

Б) 5×2 + 12ху — 22х — 12г/ — 19 = 0;

В) X2 + 2ху + у2 + Зх + У = 0;

Г) 5×2 + Qxy + 5Y2 — IQx — IGy — 16 = 0;

Д) 5×2 + Qxy + Qy2 — 18х — 18у + 9 = 0;

Е) 4×2 — 12xι∕ + 9г/2 — 36х + 100 = 0.

Ответы:

1. A) X2 + У2= 9; б) (х — 2)2 + (у + З)2 = 49; в) (х — 6)2 + + (у + 8)2 = 100; г) (х + I)2 + (у — 2)2 = 25; д) х2 + У2= 16;

Е) (χ — I)2 + (у- 4)2 = 8; ж) (х — I)2 + (у + I)2 = 4; з) (х — 2)2 + + (у- 4)2 = 10; и) (х — I)2 + Y2 = 1; к) (х — I)2 + (у + I)2 = 25.

2. А) на окружности; б) внутри окружности; в) на ок­ружности; г) внутри окружности.

4. а) полуокружность радиуса R = 5 с центром в нача­ле координат, расположенная в нижней полуплоскости;

Б) полуокружность радиуса R = 2 с центром в начале координат, расположенная в левой полуплоскости;

В) полуокружность радиуса R = 4 с центром в начале координат, расположенная в правой полуплоскости;

Г) полуокружность радиуса R = 8 с центром С(0; 15), расположенная над прямой У — 15 = 0;

Д) полуокружность радиуса R = 8 с центром С(0; 15), расположенная под прямой У — 15 = 0;

Е) полуокружность радиуса JR = 3 с центром С(-2; 0), расположенная влево от прямой х + 2 = 0;

Ж) полуокружность радиуса JR = 3 с центром С(-2; 0), расположенная вправо от прямой х + 2 = 0.

5. а) р = -3 cos φ; б) р = 5 sin φ; г) р = cos φ + sin φ .

13. а) —2+ ɪ- = 1; б) 2×2 — 2xy + 2y2 — 3 = 0;

169 25 . v

В) 68×2 + 48xι∕ + 82y2 — 625 = 0.

2 2 X Il

14. — + ɪ- ≤ 1 — эллипс и его внутренняя область.

15. а) А = 3, Ь = 2; б) А = 4, B = 1; в) А = 4, Ъ = 2;

Г) ɑ = 1, ð = 1; д) а = —, & = 1 1

Ж) α = — , д = -;

X2 И2 X2

16∙a>3<Γ⅛Γ-1=6>l6

18. А = 3, Ъ = 4; б) F1(0; 5), F2(0; -5); в) Е = -; у = ± — х.

19. 12 кв. ед.

X2 и2 X2 и2

20. а) -— ^- = 1; б) х2 — у2 = 16; в) — — ;

32 8 18 8

Г — 5 1

21. У = √2.22. а) Р = 3; б) Р = —; в) Р = 2; г) Р = — ;

23. а) у2 = -9х; б) x2 = — 2у; 24. y2 = -28х;

25. a)A(2; 0), Р = 2, х — 1 = 0; б) A ɔθ

— 13 = 0; b)A∣°; — ɜj, p = 3, бу + 11 = 0; r)A(0; 2),p= ɪ, 4у-9;

26. а) часть параболы y2 = -18х, расположенная в тре­тьем координатном углу;

Б) часть параболы у2 = 4х, расположенная в четвертом координатном углу;

В) часть параболы x2 = 5у, расположенная в первом координатном углу;

Г) часть параболы х2 = — 25у, расположенная в третьем координатном углу;

27. 2х — У — 16 = 0; 28. 5х — 18у + 25 = 0;

29. (Ю; Тзо), (io; -√30), (2; Ve )> (2; — Ve )•

30. а) (х — D2 = I {у — 6); б) (х + З)2 = — (у — 2);

В) (у + 4)2 = 2(х + 2); г) (у + I)2 = —(х + 4);

31. а)——— + у2 =1; эллипс с центром С(-2; 0) и по-

4

Луосями 2 и 1;

-4 (х-2)2 (у-3)2 . ,o

Б) ——- —+ —— ^- = 1; эллипс с центром (2; 3) и полу-

8 16

Осями 2√i и 4;

(X-4)^ тельная полуось равна 4, мнимая 2;

Г) (у — З)2 — (х — I)2 = 8; равносторонняя гипербола с

Центром (1; 3), полуоси равны 2 V2 , действительная ось параллельна оси ординат;

32. a) X[8] — Y2 = 1; б)

X2 У2

1; в) У2