Абсолютный экстремум

Теорема 5. Пусть функция У = F(X) дифференцируема в ограниченной и замкнутой области, тогда она достига­ет своих Наибольшего и наименьшего значений (абсолют­ные экстремумы) или в стационарной точке, или в гра­ничной точке области.

Например, если функция двух переменных У = /(x,; х2) определена и дифференцируема в точках плоской облас­ти D, границы которой заданы параметрически:

X1 = X1(T); X2 = X2(T); T1TT2, То анализ экстремальных значений функции на границе сводится к исследованию функции одной переменной F(X1(T); x2(0).

Пример 3. Найти наибольшие и наименьшие значения функции:

А) г = X2 У2 в круге x2 + Y2 ≤ 4;

Б) W = X2 + 2Y2 + 3Z2 в шаре X2 + Y2 + Z2 100;

В) 2 = x2z∕(4 — х — У) в треугольнике, ограниченном пря­мыми х = 0, У = 0, х + У = 6;

Г) г = sin Х + sin У + sin (х + У) в прямоугольнике

„ π π

0≤x≤ -, 0≤Y-.

2 2

Решение.

А) 1. В соответствии с теоремой 5 исследуем значения функции в стационарных точках, координаты которых являются решением следующей системы:

В стационарной точке (0; 0) функ­ция принимает значение 2 (0; 0) = 0.

2. Переходим к анализу значений функции на границе области. Грани­цей круга X2 + Y2<4 является окруж­ность с центром в начале координат и ра­диусом 2.

Так как Y2 = 4 — x2,τo на границе круга исходная функция принимает вид

Z = x2 _ (4 _ X2). 2 = 2×2 — 4; X ∈ [-2; 2]. Исследуем функцию Z (х) на наибольшее и наименьшее

Значения на отрезке [-2; 2] как функцию одной перемен­ной:

Z‘ = 4х = 0; х = 0; 0 ∈ [-2; 2], и при этом Z (0) = -4. На границах отрезка [-2; 2] Г (-2) = Z (2) = 4.

Если х = 0, то У = ±2, при этом Z (О) = 2(0; ±2) = -4.

Если х = ±2, то У = 0, при этом Z (±2) ≈ г(±2; О) = 4.

3. Сравнивая все полученные значения функции Z (х; У),

Приходим к выводу, что функция Z= X2 — у2 принимает следующие наибольшее и наименьшее значения:

2наИб = z(^2;θ) = 42; о) = 4;

2наим = z(θ; -2) = z(θ; 2) = -4.

Б) 1. Находим стационарную точку функции W = х2 + + 2Y2 + Зг2 и значение функции в этой точке:

3W

— = 4у = О, W

2. Границей шара х2 + У2 + г2 < IOO является сфера X2 + Y2 + г2 = 100, центр которой находится в начале ко­ординат и которая имеет радиус 10. На сфере исходная функция U>(X; у; 2) = X2 + 2Y2 + З22 приобретает вид

W (х; у)== X2 + 2Y2 + 3(100 — X2 — У2);

W (х; У) = 300 — 2×2 — У2, при этом функция W (х; У) оп­ределена в точках круга x2 + Y2 ≤ 100.

Стационарная точка функции W (х; У)’.

Х = 0,

У = Q. W (0; 0) = 300.

Отметим, что при х = 0; У = 0; переменная Г принима­ет два значения 212 = ±10. Следовательно, u>(0; 0; ±10) = = 300.

Границей круга x2 + Y2100 является окружность

X2 + У2 = 100, поэтому функция W (х; У) в точках окруж­ности приобретает вид

W (х) = 300 — 2×2 -у2 = 300 — 2×2 — (100 — х2);

W (х) — 200 — х2, где х ∈ [-10; 10]. Стационарная точка функции W (х):

W ‘(x) = -2x = Ojx = O; W (0) = 200.

Отметим, что при х = 0 переменные У и Г принимают

Следующие значения; Y12 = ±10; 2 = 0. Следовательно, ш(0; ±10; 0) = 200.

Значение функции W (х) на краях отрезка [-10; 10]:

W (±10)= 100.

Но поскольку при х = ±10 переменные У и г равны О, то if(±10; 0; 0) = 100.

3. Среди всех полученных значений функции W(X; у; г) Выбираем наибольшее и наименьшее

‰h6 = u>(θ; 0; ±10) = 300; и>наим = W(Q; 0; 0) = 0.

В) 1. Стационарные точки функции Z = X2Y(4 — х — у) Определяются из следующей системы уравнений

= 8Xy3X2Y — 2ху2 = О, Дх

~- = 4×2 X3 ~ 2X2Y = 0;

Координаты стационарных точек, расположенных внутри треугольника х = 0; У = 0; х + У = 6, удовлетворя­ют условиям х > 0, У > 0.

Исходная система приобретает вид: и при этом 2(2; 1) = 4.

2. Поскольку граница треугольни­

Ка состоит из отрезков прямых х = 0; У = 0; х + У = 6, рассмотрим исходную функцию отдельно на каждом из этих участков:

1) х = 0; 0 < У 6, тогда 2(0; У) = О;

2) У = О; 0 ≤ х ≤ 6, тогда г(х; 0) = 0;

3) х + У = 6; 0 ≤ х ≤ 6, тогда функ­ция 2(х; У) принимает вид

2 (х) = x2(6 — х) • (-2);

2 (х) = 2×3 — 12×2; х е [0; 6]. Стационарные точки функции Г (х):

2 (х) = 6×2 — 24x = 6x(x — 4); x1 = О; X2 = 4; Г (О) = 0; Г (4) — -64.

Значения функции Z (х) на концах отрезка

2 (0) = 0; 2(6) = 0.

Таким образом, г(0; 6) = 0 ; 2(6; 0) = 0 ; г(4; 2) = -64.

3. Сравнивая все полученные значения функции

2(х; У), получаем

2„аиб = 2(2; 1) = 4; 2наим = 2(4; 2) = -64.

Г) 1. Определим стационарные точки функции Z = = sin х + sin У + sin (х + У), попадающие внутрь прямоу-

π π

Гольника 0 ≤ х < — ;0 <у< —:

£л U

Дг

Зх

3Z

Y

= COS Х + cos(x + У) = О,

= cos У + cos(x + У) = 0;

Cos х — cos У = О, cos У + cos(x + 0 = 0.

Поскольку в задаче речь идет только об острых поло­жительных углах, условие cos х = cos У равносильно ус­ловию х = У , следовательно,

X = У,

2 cos2 х + cos x-l = O;

X = У,

Cos х + cos 2х = 0;

X = У,

— 1

Cos х = -1, cos х = —;

2

ʌ К

Для углов О ≤ XCOS Х 0, поэтому

X = У,

Cos х = —; 2

π

*=3’

π

У = —. У 3

Таким образом, исходная функция в заданной облас­

Ти имеет единственную стационарную точку

При

ЭТОМ Z

π π 3’ 3

2. Рассмотрим функцию на каждой из четырех сторон прямоугольника.

π

L)x = θjθ≤ι∕≤- тогда 2(0; 0 = 2sin У.

На отрезке

0;

Функция sin У

Возрастает, ограничимся значени­ями функции в концах отрезка:

2(0; О) = О ; 210; —

2.

2) Y= 0; 0 ≤ Х ≤ — , тогда Z(X; 0) = 2 sin Х. Аналогичным образом получаем

Л ʌ

J=0

V У

„ π ʌ π 3) * = -; θ < У ≤2> тогда

. π „ π

4) г/==—;0<л:<—, тогда

Аналогично предыдущему пункту получаем

Ответ: а) 2иаиб = г(-2; 0) = г(2; 0) = 4; 2нанм = Г(0; -2) = 2(0; 2) = -4;

ð) WНаиб = W(0;*0; ±10) = 300; Ы>наим = М>(0; О; 0) = 0; В) ZBaHβ = Z(2J 1) = 4; ZHaHM = Z(4? 2) = ~θ4;

Условный экстремум.

Метод множителей Лагранжа

Определение 3. Пусть E — множество точек X П-Мерно­го евклидова пространства Е", для которых выполняют­ся условия

Gl(X) = 0, I = 1, 2, …, Т; т < П.

Точка X0 En называется точкой Условного экстрему­ма функции У = F(X) относительно соотношений Gi(X) = 0, если она является точкой обычного экстремума этой фун­кции, рассматриваемой только на множестве Е.

Если система уравнений Gi(X1; X2‘, —; xn) = 0, i = 1,2,Т; т<п разрешима относительно Т переменных XnM+L",…; хп‘

%NM+I = ɪl* ∙^2> •••» ɪn-m) = ^X ɪ )» 7 ɪ* •••» то вопрос об условном экстремуме функции У = F(X1‘, Х2;…; хп) Равносилен вопросу об обычном экстремуме функции

У = F(X ; H1(X); …; Hm( X)), где X = (x1; х2; …; Xn.M).

На практике, однако, или принципиально невозмож­

Но выразить из уравнений Gi(X) = 0 группу переменных, или это может оказаться слишком громоздкой операци­ей. В этом случае можно эффективно использовать метод множителей Лагранжа.

Т

Определение 4. Функция L(X) = F(X) + ∑λigl(X), где

Z=I

λi, I = 1, 2, …» Т — постоянные множители, называется Функцией Лагранжа.

Теорема 6. Если в точке X0 выполняются условия:
g,(X0) θ, i 1» 2, …» Т,

Точка X0 является стационарной точкой для функции Лаг­ранжа, и если второй дифференциал функции Лагранжа в этой точке является положительно (отрицательно) опреде­ленной квадратичной формой переменных dx1, Dx2,, Dxn При условии, что они удовлетворяют соотношениям

Dx1 + + Dgi(Xo)dxn = 0, i = 1, 2, …, Т,

ɑɪl

То точка X0 является точкой условного строгого миниму­ма (максимума) для функции У = F(X) относительно усло­вий Gi(X) = О.

Пример 4. Найти точки условного экстремума и значения условных экстремумов функций:

А) z = Ху , если Х + у = 1,

Б) Z = cos2 Х + cos2 У , если Х — у ≈ —,

В) W = х — 2Y + 2Z , если x2 + Y2 + Z2 1,

Г) W = хуг , если X2 + Y2 + Z2 = 1, Х + у + г = 0. Решение.

А) Поскольку переменная У легко выражается из урав­нения

X + ιz=l,

То условные экстремумы функции Г = ху находятся как обычные экстремумы функции

2 (х) = х • (1 — х); z (х) = х — х2; Стационарная точка функции z (х):

То х = — — точка максимума.

1

Так как при х = — переменная У принимает значение

ɪ

4’

Получаем:

π

Преобразуем с учетом этого функцию Г (х, У}

~, . 2 ɪ 2 . — . — + cos 2х

Z (X) = COS2 X + COS2

2 (х) = 1 + — (cos 2X + sin 2х).

Находим стационарные точки функции Г (х): Z (х) = —Sin 2x + cos 2X; Z ‘(×} = θ>* sin 2x — cos 2X ≈= 0;

Tl Tl Tl

Tg2x = l; 2x=-+πn; x= — + ~n, neZ.

4 8 2

Для определения типа экстремума находим знаки про изводной функции Z (х) методом интервалов

π π

Точки X = — + — + τιn точки минимума.

8 2

Исходная функция Z(X; У) достигает максимума в точ­ках с координатами

π π _

Х = — + τιnt У = — — + τιnt П E Zt

И Tl Tl Tl

X=∙→~+πn, У = ~8 + 2 +ИЛ’ Ле Z;

Zmia = ɑθθ2

<5π

8

+ Tin

+ COS2

T

+ τιn

В) Применим метод множителей Лагранжа. Функция Лагранжа имеет вид

L(x; Ytz} = X-2Y + 2Z + λ(x2 + Y2 + Z2 — 1). Стационарные точки и значения параметра λ опреде­

Ляются из следующей системы

— = l + 2xλ = 0;

= _2_.

L -3∙

ʌi ~2’

Дх

Х 2λ*

⅛ = -2 + 2yλ = 0;

1

У = —;

ɪ

Х* = ’з:

Ду

λ

2

— = 2 + 2zλ = 0;

1

Z =

Й = з;

∂z

λ

О

X2 +y2 + z2 = 1;

X2 + Y2 + z2 = 1;

Сл

2‘=_з: [

2

3

J,2=~35

⅞ =-■

Вопрос о существовании и характере условного экстре­мума решается путем анализа знака второго дифференци­ала функции Лагранжа в стационарных точках. Следует, однако, помнить, что переменные Х, у и Г (а значит, и их дифференциалы!) уже не являются независимыми. В час­тности, дифференцируя условие x2 + Y2 + Z2 = 1, получаем

Х у

2xdx + 2ydy + 2zdz = 0; dz =————— dx——— dy.

Z Z

Поэтому

L JL . ∂L j dL-tedx+*dy+ted2’ d°=

Dx

Dy.

D2L≈

Эх2

Д

Dy +

∂2L

∂z2

Dz^

Дхду

Dxdy+

∂2L

∂y∂z

32JL ʌ Dydz+~dxdz

XZ

L

+ —D2Z.

Z

1) Рассмотрим случай λ = — и стационарную точку

M1

1 2 з; з;

2^

ɜj

∂2L(M1) _ ∂2L(M1) _ ∂2 L(M1)

.2 — ^..2 ∂22 = 2λ = 3;

Эх"

Ъу‘

∂2 L(M1) = ∂2 L(M1) = ∂2 L(M1) _ L(M1)

Дхду дуд Z дхдг θ, Z

D2L(M1) = 3(<Zx2 + Dy2 + Dz2)T Dz = ~~Dx + Dy;

£л

То есть d2L(Mι) — положительно определенная квадратич­ная форма переменных Dx и Dyt следовательно, M1 точ­ка минимума функции Лагранжа и точка условного ми­нимума функции W= х~ гу при этом

2) Рассмотрим случай λ = — — и стационарную точку

Поскольку d2L(M2) — отрицательно определенная квад­ратичная форма относительно Dx и Dyt то M2 точка мак­симума функции Лагранжа и точка условного максиму­ма функции W = х — 2Y + 2г.

Г) Условные экстремумы функции W = хуг можно на­ходить как условные экстремумы функции W (х; у) , ко­торая получается подстановкой в функцию W = хуг (и в условие X2 + Y2 + Z2 = 1) выражения Z = —X— у. Более того, поскольку условий, связывающих Xt у и Г — два, в прин­ципе можно выразить из них две переменные, например У и 2, через Х, тогда функция W = хуг преобразуется в фун­кцию одной переменной W (х), которая может быть иссле­дована на экстремумы традиционным образом.

Тем не менее проведем анализ функции W = хуг мето­дом множителей Лагранжа, чтобы убедиться в его эффек­тивности и для случая, когда переменные Х, у, г связаны несколькими условиями.

Функция Лагранжа имеет вид:

L(X; у\ г) = хуг + λ1(x2 + Y2 + Z21) + λ2(X + у + г).

Стационарные точки и значения параметров λ1 и λ2 находятся из следующей системы:

= yz+2xλ1 + λ2 = 0, (1)

= хг+2yλ1 +λ2 = 0, (2)

3L

~ = xy+2zλl +λ2 = О, (3)

02

X2 + y2+z2 = l, (4)

X + y + 2 = 0.

Если из уравнения (1) вычесть уравнение (2); из (2) вычесть (3); уравнение (3) заменить из сумму (1), (2) и (3); в уравнении (4) выделить полный квадрат

X2 + Y2 + Z2 = (х + у + Z)2 — 2(Xy + хг +■ уг), То система приобретает вид:

(y-x)(2-2λ1) = 0,

(г — Y)(X 2λ1) = 0,

■ ху + Yz + хг + 2λ1 + у + г) + 3λ2 = О,

+ у + Z)2 — 2 • (ху + Yz + Xz) = 1, Х + у + г = 0;

(у — X)(Z — 2λ1) = О,

(г — Y)(X — 2λ1) = О,

λ -ɪ 2 6’

1

Ху + у Z + XZ = — — ,

X + у + 2 = 0.

Дальнейшее решение громоздко, но очевидно. Ограни­чимся перечислением полученных ответов:

λl∙1 =⅛ζ’

Ч2=~^’

λ*∙3"2√6,

χ _1 4ι-θ.

χ _1 λ-2,2 —

О

χ — I λj,3-θ.

1

__ 2

X’=√g∙ j

X*¾ “ I— >

3 √6

1

____ 1_

ɪ

Y’ = 4S∙

Уг 46’

У3~ √6,

2

2

1

2l ~√65

T6′

2„ = -7=∙;

3 √6

λ —J-

W^ 2√g’

χ _ 1

Л1,5—— 7=1

2√6

(λ — 1 λ,∙δ ⅛

λ -ɪ ¼4-θ>

λ =1

2,5 6’

λ∙2,6 ≈ ɑ*

2

1

1

X^yfQ,

I⅞ =~7≈*

√6

Хб=“7Г

~ _ 1

2

2

У 4 ~ I— ’

√6

У 5 /— »

√6

V6~-√Γ

1

1

1

24=~Тб;

Гл:

Z6= √6∙

Из условий, связывающих переменные Х, у и Г, полу­чаем систему уравнений, связывающих их дифференци­алы:

Xdx + Ydy + Zdz = О, Dx + Dy + Dz 0;

Второй дифференциал функции Лагранжа имеет вид: ∂2L 1 2 . θ2B Л 2 , A2L J 2

<N-⅛Sdx ^Dy +17Dz+

λ1 = 2^7 > θ, являются точками условного минимума ис­ходной функции W = хуг. При этом Wnin = ^(M1) = W(M2) = W(M3) = 1

Wmax = W(M4) = W(M5) = W(M5) = ɜ

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *