7. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

7.1. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных

N-мерное евклидово пространство

Определение 1. Упорядоченная последовательность П Действительных чисел {x1; х2;xn} называется точкой П — Мерного пространства, при этом числа xi, I = 1,П назы­ваются координатами точки.

Обозначение: X = (x1; х2; …; х„).

Определение 2. Если для любых двух точек X = (x1; х2; хл) и Y = (Y1; у2;Yn) л-мерного пространства опреде­

Лено расстояние между ними по формуле

P(X; Y) = J<χι~Yj2 +∙∙∙ + (χnYny2 ,
То такое пространство называется П-мерным евклидовым.

Обозначение: En.

Определение 3. Пусть X фиксированная точка про­странства En‘, ɛ > О — произвольное положительное число. Множество точек Y пространства En таких, что

P(X; Y) < ɛ,

Называется П-мерным шаром с центром в точке X и ради­усом ɛ или просто ^-окрестностью точки X в простран­стве En.

Определение 4. Если существует отображение множества натуральных чисел в множество точек пространства En

Xm = ∕,(7N)> ГП& N,

То множество точек X1‘, X2‘, … называется последователь­ностью точек этого пространства.

Обозначение: {Xm}∙

Определение 5. Точка X En называется пределом по­следовательности {XJ, если

Iim Р (X; XJ = O.

Определение 6. Пусть E En — некоторое подмноже­ство л-мерного евклидова пространства. Отображение то­чек множества E в множество действительных чисел R Называется функцией л переменных.

Обозначение: у = F(X1‘, х2; …; х„); У = Z(X).

Множество E называется Областью определения фун­кции л переменных.

Пример 1. Найти области определения функций и изоб­разить их графически:

A) z = -Jl-x2 + — Jy^ -1; 6) г — ɪ ;

-Jl-X2-у2

_____ _________ X

В) Z = Jx+ у + Jx-у ; г) Г = arcsin ~F + arccos (1 — У);

If

L_

4 9

Решение. А) Областью определения

Функции Z = Vl — X2 + Jyli -1 является множество точек плоскости, координаты кото­рых удовлетворяют системе не­равенств:

-1 ≤ X 1, Y≤-LYL.

1

Б) Область определения функции Г = ,………………. =:

√ι-χ2-у2

1-х2 — у2 >0;

X2 л-Y2 < 1.

Данное неравенство описыва­ет внутреннюю часть круга ради­уса 1 с центром в начале коорди­нат.

Если граница области не вхо­дит в область определения функ­ции, то она будет изображаться пунктирной линией.

В) Область определения функции Г = Jx + у + Jx-у :

Уравнения У = ±х определя­ют две прямые — биссектрисы координатных четвертей.

Условие У ≥ ~х задает верхнюю относительно прямой У = — х полу­плоскость.

Условие У ≤ х задает нижнюю относительно прямой У = х по­луплоскость^

Г) Ограничения, накладываемые на аргументы функ­

Ции Г = arcsin—— + arccos (1 — У}, обусловлены ограниче — У

Ниями на функции arcsin T и arccos T: JiJ ≤ 1.

Поэтому область определения исходной функции опи­

Сывается следующей системой неравенств:

Неравенства Y2 ≥ х и Y2 ≥ — х задают часть плоскости, расположенную вне обеих парабол одновременно. Отме­тим, что точка (0; 0) не входит в искомую область опре­деления.

И. Зак. в

2 2 2 2 X У N X у 1 —>0; — + —<1.

4 9 4 9

Это неравенство описывает внут-

2 2

X И

Реннюю часть эллипса — + — = 1.

4 9

-1 ≤ Х ≤ 1, ly≤-l,∙y>l; Y≥-χ,

2 2

X у

Д) — + — < 1. ’ 4 9

Предел функции нескольких переменных.
Непрерывность

Определение 7. Пусть функция У = /(X) определена в некоторой окрестности точки X0 за исключением, быть может, самой точки X0. Тогда число А называется преде­лом функции У = /(X) при X → X0, если для любого ɛ > 0 существует такое δε > 0, что для всех точек X, таких, что 0 < p(X; X0) < δε, выполняется условие ∣∕(X) — αj < ɛ.

Обозначение: Hm /(X) = А. X-*x0

Теорема 1. Если существует предел функции двух пе­ременных /(x1; х2) при (x1; x2) → (xθ; xθ) и при каждом фиксированном значении переменной x1 существует пре­дел

То существует Повторный предел, равный пределу функ­ции в точке (x1θ; ×2 ):

„ =Λm,∙ Am√’fi3v *2) •

» X2 ∕ XL ~~* XL X2~* Х2

Аналогичным образом может быть сформулирована теорема о связи предела функции нескольких перемен­ных с повторными пределами для функции П переменных
(л ≥ 3). Отметим, что существование повторных пределов не гарантирует существования предела функции несколь­ких переменных, а существование предела не означает существование повторных пределов.

Определение 8. Пусть функция У = F(X) определена на множестве E En и точка X0 е Е. Функция называется непрерывной в точке X0, если для любого числа ε > 0 су­ществует такое число δ > 0, что для всех точек XeE, Таких, что O < p(X; X0) < δ , выполняется условие ∣∕(X) — Z(X0)I < £.

Другими словами, функция непрерывна в точке X0, если

Iim /(X) ≈ /(X0). x→xo

Определение 9. Если функция непрерывна в каждой точке множества Е, то она называется непрерывной на этом множестве.

Как и в случае функций одной переменной, имеет ме­сто непрерывность алгебраической суммы, произведения, частного и сложной функции, образованных непрерывны­ми функциями нескольких переменных.

2x-3y

Отсутствие предела функции z = ~ в точке (0; 0) в

Х + У

Смысле определения 7.

Решение.

Очевидно, что функция г(х; У) непрерывна во всех точ­ках плоскости, у которых х ≠ 0, поскольку в этих точках непрерывны функции sin Ху и х, и, следовательно, непре-

Sιn Ху _

Рывно их отношение———— . Поэтому в точке кция Z(X; у) непрерывна.

Что касается точек с абсциссой х = 0, то в этих точках функция Z(X; у) доопределена искусственно; поэтому этй точки должны быть исследованы непосредственно по оп­ределению.

Функция 2(х; У) определена в точке (0; 0): г(0; 0) = 0.

Покажем, что в этой точке существует предел

Так как при малых значениях T выполняется неравен­ство: ∣sin T < ∣f∣, то при (х; У) → (0; 0) имеет место следую­щая оценка:

Но тогда для любого положительного действительно-

V

2 2

Х + У < δ, δ = ɛ,

Поскольку Jx2 + у2 — расстояние от точек плоскости до точки (0; 0), то по определению 7 это означает, что sinxt∕

Следовательно, функция Z(X; у) непрерывна в точке (0; 0). Отметим, что в данном примере легко высчитываются повторные пределы

1. 1. sιnxι∕

Lira lira——— — = lira O = 0∙

X→Ojf→O X x→O ’

1. 1. sin Ху

Iim Iim——- — = Iim У = о.

ι∕→Ox→O Х J/—>0

Но ни их существование, ни даже их совпадение не гарантируют существование предела функции. Рекомен­дуем убедиться в этом самостоятельно на примере функ­

Частные производные и дифференциалы.
Полный дифференциал

Определение 10. Пусть функция У = F(X) определена в некоторой окрестности точки X0.

Если зафиксировать все переменные, кроме Xi, полу­чим функцию одной переменной Xi:

Y(χι) — F (*ι; X2; • • • *» Х/_1 ;х/; χf+f, • • •; χ∏) •

Производная функции Y(Xi) в точке Xl = х° называет­ся Частной производной функции у = F(X) в точке X0 по переменной Xi. _

Обозначение:

⅜(X0) .0Y(X1O; …;Xj

Xi ’ ∂xi

Oy

Определение 11. Линейные функции Dxif I = 1, 2,

…, п переменных Dxi называются частными Дифференци­алами функции у = /(X).

Обозначение: Dxy.

Определение 12. Функция У F(X) называется диффе­ренцируемой в точке X0, если существуют числа A1, A2,…» An такие, что полное приращение функции имеет вид:

Δp(X0) = A1 ∆x1 + … + AnAxn + α(∆x1; …; ∆xπ), где α(∆x1;…; Axn) = ε(∆x1;∆xn) ∙ р; Iim ε(∆x1;…; Axn) = 0;

P→0

Р = ^Ax1 + … + Δχ2 . При этом линейная часть прираще­ния A1Ax1 + … +AnAxn называется Полным дифферен­циалом функции /(X) в точке X0.

Теорема 2. Если функция /(X) дифференцируема в точ­ке X0, то ее полный дифференциал в этой точке имеет вид:

Замечание. При расчете частных производных необхо­димо помнить следующее.

1. Все правила вычисления производных и все таблич­ные производные функций одной переменной сохраняют силу.

2. При частном дифференцировании функции Г = F(X; у) По переменной Х переменную У считаем фиксированной, т. е. константой. Поэтому, в частности, производная по Х От любого выражения, зависящего только от У, равна 0. Например,

Ух = (? jχ = (V?)* = (sinp)∖ =O — И вообще, (F(Y)) ж=0-

В произведении любой множитель, зависящий только от У, выполняет роль множителя-константы. Например,

(p∙x)x ==У’ XX=Y; (lnp∙sinx)x = Iny (sinx)χ — = In У COSX.

И вообще, (/(y). g(x)) x = /(p) ∙ √(x).

3. Аналогичным образом выполняется частное диффе­ренцирование функции Г = F(X; у) по переменной У.

Пример 4. Найти частные производные, частные диффе­ренциалы и полный дифференциал первого порядка следующих функций:

А) Г — ln(x2 + р2); б) Г = х»; в) Г = arctg — ; г) Г = sin (x2p).

Х

Решение.

А) В соответствии с рекомендациями получаем:

X2 + у2

(И + M*j=χ

^ = Λ(ln(χ2+y2))=-^-y∙p+ι∕2)y =

⅜ ⅛/ " χ

ɪ U+HΛ⅛<»÷⅛> = -ɪ.

J X +У χ

X2 + у2

X2 + у2

(2х + 0) =

Х +У

X2 +у2

Частные и полный дифференциал имеют вид: 2*~2 Dx; Dyz = —-У-

Dxz = „

X2+У

Dz =

X2 +у2

Dx +

2 . 2 X +у 2у

2 . 2 ʤ* Х + У

Dy;

Б) Функция Г = х» является степенной относительно переменной Х и показательной относительно У’.

ZZ

= у Xy~1; — = х» ∙ In Х.

Эх Ду

Частные дифференциалы:

Dxz = у ■ Xy~1Dx; Dyz = Xy In Х Dy.

Полный дифференциал:

Dz = у Xy~1Dx + Xy ∙ In Х ■ Dy.

В) Частные производные:

Дг

Дх

Дх

QTctg I= —1--.у

(И =

X2 +у2

Z

Ду ду

Arctg

1+

X2+Y2 X Уу

χ2 +у2

Частные и полный дифференциал !/ х

Dx2 =—— 2

Dz = —

Х +У
У

2 . 2 X + У

Dx; Dyz

X2+Y2

Dy;

Dx +

2 , 2 &У’ X

Г) Частные производные:

= ɪ sin (x2ι∕) = cos (x2y) (x2y),x

= cos {x2y) (x2Xc = 2xy ∙ cos (x2y); Дг д

= ⅜sin = Cos ^χ2y^(χ УУ‘у =

= cos (x2ι∕) ∙ X2 • Уу = X2 ∙ cos (x⅞0;

Dx2 = 2xy ∙ cos (x2ι∕); Dy2 = x2 ∙ cos (x2y)dy; dz = Х ∙ cos (x2y) ∙ (2ydx + xdy).

^ , ‘ 2^ 2У

Ответ: а) Гх = —————- : г„ =

2 2 , у

X

X2 + у2

Dx2= 2

Dx; Du2 = -~ζ2Y Dy; X— +Y2 X2+Y2

Dz =

X2+у2

Dx +

2У ,

2 2 ®У‘

X

Б) 2X = у X*~1; 2,Y = χy In χ; Dxz = у X*~IDx;

Dy∑ = χy ∙ In х ∙ Dy; Dz = у χn~1Dx + X>∙LnxDy

В) 4- v ■

X2 +у2 ’
У

2X =

X2 +у2’

Drz = —

X2 +у2

Dx; Dyz

X2 + у2

Dy;

Dz = —

X2 +у2

Dx +

X2 + у2

Dy.

Г) Г’х = 2Xy ∙ cos (X2Y)Dx; ZY = χ2 cos (x2z∕); D3C2 = 2Xy cos (X2Y)Dx; D г = X2 cos {X2Y)Dy‘, Dz = X cos (x2ι∕) ∙ (2ι∕dx + Xdy).

Пример 5. Замеряя приращение функции дифференциа­лом, найти приближенные значения выражений: a) In (√Γθ4 + ^94 -1); б) sin 31° ∙ tg 44°.

Решение.

А) Введем в рассмотрение функцию Г = In {Jx + ⅛Jy — lj.

Выражение In (^04+3/^94-l) является значением функции Г в точке (1,04; 0,94), которая находится в ок­рестности точки (1; 1).

Поскольку

∆a = z(x; У) — z(x0; Y0) ≈ Dz(X0; ι∕0), то

, z ч, θ2(⅜^o) , , θ*(χ0;Уо) J

Г(х; у) z(xθ; У0) + ———- ——— Dx +——— ——— Dy.

Очевидно, что

3Z_ 1________ 1 Эа _ 1_________ 1_

Дх Jx +Jy -1 2 Vx ’ Ъу + Jy -1 3^7

Подставляя значения X0= 1; Y0 = 1; Dx = х — xθ = 0,04; Dy = у — Y0 = -0,06, получаем:

Z(l,04; 0,94) ≈ In(√Γ + Л -1)+

2√1 ’ зЛ

Z(l,04; 0,94) ≈0.

Таким образом, In Ql,04 + J 0,94 -1) ≈ 0. Для сравне­ния приведем расчетное значение: -0,00061.

Б) Перейдем к радианной мере углов:

31

π;

… 11 44 = — π;

Производные сложных функций

Теорема 3. Если функции X1(J) и X2(T) дифференцируе­мы в точке T0, а функция У = /(x1; X2) дифференцируема в

Точке (χf ; х® ), где x10 = x1(J0); x2 = x2(J0)> то сложная функция У = /(x1(J); x2(J)) дифференцируема в точке J0, и при этом

Df _ F DxlF Dx2 Dt Bx1 Dt Bx2 Dt

Теорема 4. Если функции x1(u; υ} и x2(u; О) дифферен­цируемы в точке (u0; υθ), а функция У = /(x1; х2) диффе­ренцируема в точке (х®;х® ), где х® = x1(u0; l>0); х® = = x2(uθ; f0), то сложная функция У = F(X1(U; V); x2(u; υ)) дифференцируема в точке (u0; t>θ), и при этом

В/ _ B/ 3×1 В/ Bx2

Bu Bx1 Ди Bx2 Ди ’

Б) Для удобства введем обозначение: — = Z, тогда У

= jV+<V. j⅛ , , 1 =

Дх дх T дх X T у У ,

Дг _ FT ду ~∂T ду

В) В соответствии с теоремой 4: Дг _ дг дх дг ду. ди дх ди ду ди ’

Эз _ Дг дх дг ду Эи дх Эи ду Эи

Производная по направлению. Градиент

Определение 13. Пусть заданы ненулевой вектор Г и функция У = F(Xl‘, X2‘, Х3), определенная в некоторой окре­стности точки M0. Пусть также точка M — подвижная точ­ка пространства, но такая, что вектор M0M сонаправлен Г. Если существует предел

Llm -/(M0)i

M→M0 P(M0∙,M)

То он называетсяпроизводной функции F(M) в точке M0 По направлению I.

V(M0)

Теорема 5. Если функция У = F(M) дифференцируема в точке M0, то в этой точке существует производная этой функции по любому направлению, и при этом

V(M0) V(M0) V(M0) β V(M0)

——= -Ц-— cos а + Cos β + -ɪʌ-ɪ cos γ,

Ol Ox Oy OZ

Где cosα, cosβ, cosγ — направляющие косинусы вектора Г.

Напомним, что направляющие косинусы произвольно­го вектора Γ= {X; Y; Z} находятся по формулам:

X о γ

Cosα = — р? ; cosp = рг; cosγ =

Где I?! = √X2 +Y2+Z2 .

Определение 14. Вектор с координатами

Называется Градиентом функ­ции Z(M) в точке M0.

Обозначение: grad ∕; V F; grad Z(Mθ); V∕(Mθ).

Если вектор Гединичный, т. е. ∣IJ = 1, то его координатами

Являются направляющие косинусы T = {cos αcos β; cos γ}. В этом случае производная по направлению Г может быть записана как скалярное произведение Г на grad /:

ɪ L grad F.

Вектор grad F имеет простой геометрический смысл: он показывает направление наибыстрейшего роста функции, а величина ∣grad F равна производной функции F(M} в этом направлении.

Пример 7. а) Найти производную функции W = X3Y2Z в точ­

Ке Л(1; -1; 3) по направлению вектора AB, если точка В имеет координаты (О; 1; 1).

Б) Найти производную функции Г = ln(ex + Ey} в начале

Координат по направлению вектора OM, если точка M имеет координаты (1; 1).

Решение.

Производная функции W по направлению Γ= AB в точ­ке А равна:

W(A) Л ( 1} Z 2 „

+(-6).-+l

Б) В случае функции двух переменных Г(х; у) теорема 5 приобретает вид:

∂z(M0) Z(Mn) , Эг(М0) .

——— = —-——cos а 4————— sin а,

L Эх Ду

Где а — угол между положительным направлением оси

Ox и вектором Г.

Для функции Г = ln(ex + Е»у.

Эг(О; 0) _ 1 ____

Эх 2 Ду

Вектор OM имеет координаты (1; 1}, при этом

J OMI = 4% , cos α = ~7= ; cos β = sin а ≈ -τ=.

√2 √2

E, Эг(О;О) Illl 2 √2

L 2 √2 2 √2 2√2 2

2 √2

Ozneezn; а) —7 —; б) .

3 2

Пример 8. Найти величину и направление градиента функции:

Х

А) Г = arctg — в произвольной точке (x0; ι∕0);

У

Решение.

A) grad Г

∂z e ∂z

1 1, 1

( _Х>

Эх * Ду

X2 V * X2

1 + ⅛- y 1 + ⅞-

У2

I y 7

X2 + У2 ’ X2 + У2

Grad z(x0; Y0) = ——————

ХО+Уо

{y0′> -⅜};

[grad z(x0; ι∕0)∣ —

Уо

Уо

λ2

χO+y⅛

Xc

\2

Xo+Уо

Jx⅛

+ Уо

Cos а =

Уо

Cos β = sin а =

Б) grad W

XQ + У о Vxo + У о Jχo + Уо
— хп
1

Хо + У о YX%+Y% Jx2 + у1 ‘ðW ðWW) -1

Jgrad W (xθ; Y0; zθ)J

Эх ’ ⅛ ’ Эг ∫ 1∕(r2 + jz2 +22^

1

\ У‘, 2};

Cos а = —

Jxo

Cos γ = —

XO +Уо +4

2 +Уо+4

Уо

JχΓ+y[+z%

^χO + Уо + ZO

Ответ: а)

2 . 2 X0 +Уо

Уо

Jxo + Уо Jχo + У о

Б)-

YXO + Уо

{χ0‘, у0; Z0};

Y(XI+Yo+ZOj

1 Уо

XO +Уо + ZO

XO+Уо+ZO YχO + Уо + ZO YXO + Уо + ZO

Частные производные и дифференциалы
высших порядков

Определение 15. Частная производная от частной про­изводной порядка Т, т N, называется частной произ­водной порядка Т + 1.

Если задана функция F(X1; X2; … ; xn) и существуют ее

Первые частные производные

F . ∂F

Xl ’ Эх2

ɪ

Эх„

То их

Также можно считать функциями, обладающими, воз­можно, частными производными

Э7

_э_

Эх,-

Эх

XiXi

1,

Л.

Аналогично вводятся производные третьего порядка и

Т. п.

Теорема 6. Если функция /(x1; X2;…; х„) и все ее част­ные производные χi‘,Fχiχ.; i, J = 1, …, л, определены в не­

Которой окрестности точки (xf; X2 ; …; xθ), причем про­изводные второго порядка F*IX. непрерывны в этой точке, то в этой точке = Fx, ,I, J = 1, …» л.

Определение 16. Если X1; х2; … ; х„ являются незави­симыми переменными, то вторым дифференциалом D2Y Функции У = F(X1; х2; … ; х„) в точке X называется выра­жение вида

<W-∑∑≈¾<⅛

В частности, для функции двух переменных у = F (x1; х2)

D2Y = Dxf + 2 -θ,y-∙ dx1dx2 + —dx2 .

Эх? 1 3×1‰2 ɪ 2 ЭХ2 2

Для дифференциалов высших порядков используется символическая формула

Dmy =

Эх,

Dx1 +

Эх,

Пример 9. Найти первые и вторые частные производные, первый и второй дифференциалы функций: а) Г = ez* + 3i,; б) W = arctg (Xyz).

Решение.

А) ZX = (e2*+3y)* = 2 ∙ e2*+¾; Zy = (e2x+3y)ζ = 3 • е2* + 3*; Dz = E2X + 3Y(2Dx + 3Dy);

ZXx(Z,X),X = 4 ∙ e2≈ + 4∙ Zeyy = {Zy),Y 9 ∙ e2l÷⅛;

Y = (ZχYy = 6 ∙ E2X + 3Y;

D2Z = E2X + 3Y(4Dx2 + 12Dxdy + 9dp2).

Б) W,X = (arctg(xp2)∕x = ——— ‰~y; < ~ (arctg(xp2))y =

L + xzV2

XZ R , √ ху

; W2 = (arctg(xz∕z)}z —

Dw≈ 1 V2,,2,2 (Yzdx + XZdy + Xydz)∙,

LtXy Z

D2α> = + χ2Y2Z2J ⅛*Dx* + Yx3Z3Dy2 + Zx3Y3Dz2

— 2(l — X2Y2Z2)Dxdy — у(1 — X2Y2Z2)Dxdz х(1 — X2Y2Z2)Dydz). Ответы см. в тексте решения.

Пример 10. Найти дифференциал третьего порядка фун­кции Z = sin (αx + By).

Решение.

Воспользуемся символической формулой:

Э. Э,

— ах + — Dy Эх Эр

Ab sin(αx + By);

ZJ = — a3 cos(αx + By);

Zyyy = — b3 cos(αx + By); ZXxy = ~a-2b cos(αx + By);

2xyy = ~a-b2 cos(αx + By).

D3z = — cos(αx + By)(a3dx3 + 3a2bdx2dy + 3ab2dxdy2 +

+ b3dy3) = — cos(ax + by) ∙ (adx + bdy)3.

Ответ: — cos(αx + By) — (adx + bdy)3.

Пример 11. Показать, что а) функция Z = ln(x2 + Y2) удов-

Э22 Э22 _

— + — = О;б, фун-

Б) WX = Yzexyι; Wxy = Zeχy* + Xyz2Eχy* = (г + Xyz2)Eχyχ;

Wxy3, = (1 + 2Xyz)Exy* + (г + Xyz2}Xy ехуг = (1 + Зхуг +

+ X2Y2Z2)Eχy*.

Получаем

Ху W"Xy + 2Xw,X + W ≈ (Xyz + X2Y2Z2 + Xyz + L)Eχyχ =

= (1 + Зхуг + X2Y2Z2)Eχyχ ≈ шхуг , что и требовалось доказать.

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *